２進数は怖くない！

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こんにちは、ドイツのモナでございます〜

仕事や趣味によって、２進数が日常的に多かれ少なれ現れたりします。サブネットマスク計算などのためのツールがあるので自分で計算しなくても済むのですが、最初から２進数を理解しようとしない人が少なくはないと思います。この記事で２進数の怖いイメージが理解の邪魔にならないように簡単に説明したいと思います！一つの注意点として、数学をなるべく避けるようにする、あるいはできるだけ簡単でわかりやすく説明するようにしますので、数学の背景のある方には以下の説明があまり勉強にならない可能性があります。

なお、IT関連の仕事では多くの計算がバイト基準で十分なので、８ビットまでの数字を主に例として使います。

ちょっとした数学の復習

数学が苦手な方向けの記事ですが、使わざるを得ない用語などを簡単に説明します。

本記事では以下のように用語を使っていきます。

• 自然数
  • ０以上の数えるために使う数字のことです。例：3、15、144などは自然数でありますが、1/3、 0.5、-4は自然数ではありません。
• 累乗
  • 指数（上図参照）が自然数であり、底（上図参照）と底の掛け算の繰り返しの計算で得た結果のことです。繰り返しの回数は、指数で表示されます。例：2⁵は2×２×２×２×２という形式にでも書けます。

２進数とは

日常生活にて使われている数字は１０進数であります、つまり０〜９という十の記号からできている数字です。考えてみると、想像できる数字なら全てがその記号の組み合わせとなりますね。なお、数字は２進数としても表すことができます、つまり０と１というたった二つの記号しか使わない表し方です。２進数とは日常的に使っている数字を少なくした記号で書く方法です。それは特に０と１の言語しかわからないコンピューターにぴったりですね！

なおこの記事では自然数、つまり0以上の数字だけに目を向けます。

２進数と１０進数の比較

注意：この記事の全ての２進数はカッコ、また末尾に付いている小さな２で書かれています。例えば、(101)₂は２進数の５であり、１０進数の１０１ではありません。

２進数の計算などは基本的に１０進数の計算と変わりません。唯一の違いは桁毎に利用する数字（記号）だけです。２進数を理解するには、まず１０進数のあり方を詳しく見てみましょう。

全ての１０進数はその桁に分割できます。例えば、144という数字を見てみましょう。１、４、４という３桁として見ることができます。その桁が実際の数字の中のポジションによって、１０の累乗の倍数を表示します。どういうことかというと、144は「（1 × 100） + （4 × 10） + （4 × 1）」, またはさらに短く「100 + 40 + 4」として表現することができます（下図参照）。１００また１０は明らかに１０の累乗でありますが(100 = 10², 10 = 10¹)、覚えていない方もいらっしゃるかもしれないので、1 = 10⁰ということで、１も１０の累乗であります。任意の数の０乗は常に1であることを覚えておくことおすすめします。明らかですが、１０の累乗は常に「１」の後に０個以上の「０」が続く数字であることを覚えておくのも良いでしょう。「０」を数えることで冪数がわかります。例えば、1000 = 10³. もちろん逆の方法でもいけます：10ⁿ は「1」 の後にｎ個の「０」が続く数字です、例えば10⁴ = 10000.

さて、これは考えられる全ての数字で機能することを自分自身を確信させてください。どんな時も、各桁の数字は『その桁に対応する10の累乗』の位数と言えます。『その桁に対応する10の累乗』を確かめるには、その桁の後に続く桁の数を数えればいいだけです。

もう一つの例として1607を取り上げましょう。この数字は「（1 × 1000） + （6 × 100） + （0 × 10） + （7 × 1）」に分割できますね。1 の後に続く桁の数は3なので、1に掛ける10の累乗は1000 = 10³; 6 の後に続く桁の数は２なので、６に掛ける１０ の累乗は100 = 10², 7 の後に続く桁は３なので、７に掛ける１０ の累乗は1 = 10⁰.

２進数の場合も全く同じ考えです！

ここで、まず２進数では「１」の後に０個以上の「０」が続く場合の値は常に２の累乗であることを理解することが必要です。繰り返しになりますが、２進数の末尾の「０」を数えることで、冪数がわかります。例えば、(1000)₂ の末尾は、「０」が３個なので、2³ = 8.

これも全ての２進数で同じように機能します。２進数の(101)₂を見てみましょう。1、0、1という桁に分割できますが、10進数の例みたいに「（1 × (100)_2） + （0 × (10)_2） + （1 × (1)_2）」という形式で書けます。なおこの例でいうと、(100)₂ = 2² = 4 、また (1)₂ = 2⁰ = 1。結果は 4 + 1 = 5。

これまで見てきたことは、2進数は実際に10進数と同じように機能するということですが、唯一の違いは1桁あたりに使用される数字（記号）が少ないことです。この点を踏まえて、2進数ではどのように計算を行うのか見てみましょう。

１０進数に１を足すと、２つの異なる結果が考えらえます：

1. 最後の桁が９未満の場合、その最後の桁が１増えた数字になります（例：15 + 1 = 16）
2. 最後の桁が９の場合、その桁が０になり、一つ前の桁が１増えた数字になります（例：139 + 1 = 140）

これによって1が加えられた桁については、その桁が9であったか9未満であったかに応じて、これら2つのルールが同じように適用されることにご注意ください。（例：199 + 1 = 200） 従って、全桁が「9」だけの数字に1を足すと、「1」の後に「0」ばかりが続くことになり、もちろん10の累乗になります（例：99＋1＝100）。つまり、全桁が「９」の10進数は１０ の累乗から1を引いた数字ということです。それは、10進数の1桁の値として9が最大であるからです。「９」を数えることで冪数がわかります、例えば99は「９」が２個なので、99 = 10² - 1。

さて、２進数はどうでしょう？なお、各桁の最大値は1ですね。２進数に1を足すと、また２つの異なる結果が考えらえます：

1. 最後の桁が1未満、つまり０の場合、その最後の桁が１増えた数字になります（例：(110)₂ + (1)₂ = (111)₂）
2. 最後の桁が１の場合、その桁が０になり、一つ前の桁が１増えた数字になります（例：(101)₂ + (1)₂ = (110)₂）

(11)₂ を見てみましょう。1を足すと、(100)₂という２の累乗になります。つまり、全桁が「１」の2進数は2の累乗から1を引いた数字ということです。さらに言えば、「１」を数えることでやはり冪数がわかります。例えば、(111)₂ の「1」が３個なので、2³ - 1 = 8 - 1 = 7.

２進数→１０ 進数

さて、ある2進数を見たとき、10進数に変換するにはどうすればよいでしょうか。

まずシンプルな計算方法でいきますが、計算を高速化するためのコツなどを以下で紹介します。数字が小さくても大きくても、常に機能する方法です。実は、上記でこの方法を見たばかりですが、ここで一般化した形で書いておきます。

1. 数字の中に1があるときは、冪数を得るために末尾の桁を数える（0でも1でも構いません）。その数を「n」と呼びましょう。
2. 2ⁿを算出する
3. 算出された数値をすべて加算

「１」が２個ある(10010000)₂を見てみましょう（下図参照）。上記の方法を使用すると、それぞれの１が「2⁷ = 128」と「2⁴ = 16」ということで、128 + 16 = 144となります。

１０進数→２進数

2の累乗を覚えていないとすると、10進数を2進数に変換する最も簡単な方法は、ホーナー法だと思います。

1. 数字を2で割って（整数除算）、余り(0または1のいずれか) をメモする
2. 商が０になるまで1.の結果を余りなしで使って1.を繰り返す
3. 下から上にメモした余りが求めている2進数である

さて、ホーナー法を使って例として144を2進数に変換してみましょう。

1. 144 / 2 = 72, 余り：0
2. 72 / 2 = 36, 余り：0
3. 36 / 2 = 18, 余り：0
4. 18 / 2 = 9, 余り：0
5. 9 / 2 = 4, 余り：1
6. 4 / 2 = 2, 余り：0
7. 2 / 2 = 1, 余り：0
8. 1 / 2 = 0, 余り：1

その結果、144 = (10010000)₂.

基本コツ

２進数での計算を早くするためにはいろんなコツがあります。

• ０〜１５を暗記する
  • シンプルですがかなり役に立ちます

• 1024までの２の累乗を暗記する
  • これもまた非常にシンプルなことですが、あらゆる種類の計算に便利です。数字が2の累乗であることを認識するだけでも、とても助かります。「2048」といゲームはこの点で非常に役に立ちます。

• 末尾に０をつけると２倍になるということです
  • 例：(11)₂ -> (110)₂ は３×２ = 6
• 末尾に1をつけると２を掛けて1を足すということです
  • 例：(101)₂ -> (1011)₂ は5×２+ 1 = 11ということです
• n桁の2進数の補数とは、すべての桁を反転させたもので、つまりすべての1が0に、すべての0が1になります。この2つの数字（元の数字とその補数）を足すと、「1」だけでできているn桁の2進数となります。その数字は2ⁿ - 1の値を持ちます。
• 2¹⁰ ≈ 1000（正確には1024）
• 2³² ≈ ４０億
• 手を使って2進数の練習ができます! 指を下にすると0、指を上にすると1になります。片手で0から31まで、両手で1023まで表現できます。

バイト（８ビット）専用のコツ

• バイトで考える
  • バイトベースの計算が多いので、8桁の2進数で計算の練習しておけば、よくあるパターンをパッと見でわかることも増えますし、計算も楽になります。
• バイト内のすべての位置で2の累乗を覚えておく（下図参照）
• 右４桁が1桁の２の累乗、つまり１、２、４、そして８。このコツは１６以上の２の冪を早く見つけるには便利です。

 

ぱっと見でわかる特徴

• 全桁が１：２の累乗から1を引いた数字
• 一つの「１」だけ：２の累乗
• 下一桁が１：奇数
• バイトの場合：255以上の値になることはない

実例

では、実際に2進数が使われている例を見てみましょう。

chmod

chmodは、Unix系システムにおいて、ファイルやディレクトリの権限を設定するシェルコマンドです。権利を与える順番は、Read（読む） - Write（書く） - Execute（実行）です。それぞれの権利は、0（拒否）と1（許可）で表されます。

つまり、例えば全権は111で表されたら、2進数の7となります。また、読み取りと実行はできるが、書き込みはできないという場合は、101（2進数の5）となります。これらの権限は、ファイルオーナ、ユーザーグループ、その他の人の順に設定する必要があります。例えば、ユーザーには全権限を与え、ユーザーグループとそれ以外の人には読み取りと実行の権限だけを与えたい（つまり、ユーザーだけがファイルを変更できるということ）とすると、chmod 755 some_file.txt を使ってできます。

chmodの数字が何を意味しているのか疑問に思っていた人は、これでわかったと幸いです！

subnet masks

IPアドレスは4つのオクテットをドットで分割したもので、192.168.0.1のように構成されています。各オクテットは1バイトに格納されるので、IPアドレス全体は4バイトの長さとなります。

１バイトは８ビット（＝先頭の0を含む8桁の2進数）であるため、1つのバイトが取り得る値は0～255です。したがって、IPアドレスの各オクテットは、最大で255の値を持つことができす。最大値になるには、すべてのビットを1にする必要があります。

サブネットマスクは通常192.168.0.1/24のように表されます。

ここで重要なのは/24です。これは、24ビットがこのIPアドレスのネットワーク部分として使用されることを意味しています。つまり、最初の24ビットが1にされているので、ドット表記で書かれたマスクは255.255.255.0となります。

最も簡単なサブネットマスクは/8、/16、/24、そして/32で、これらの数字は8の倍数だからです。それぞれに対応するサブネットマスクは、「255」のオクテットの後に「0」のオクテットが続くだけです。

なお、それ以外の長さのサブネットマスクの場合は、8で割った後の余りを見ればよいのです。例えばサブネットマスクが/28の場合、28を8で割れば結果が3となり、余りが4となるので、最初の３オクテットが２５５で、４オクテット目の最初の４ビットが１になっている（11110000）ということです。どの方法で計算するかは好みですが、128 + 64 + 32 + 16を計算するか、あるいは、その数字の補数である(00001111)の8 + 4 + 2 + 1を計算して255から引くという両方の方法のどちらでも結果は240です。個人的には後者の方が好きです。なぜなら、常に1だけで構成される数字（先頭の0は無視する）なので、2の累乗から1を引いた数字になるからです。上記のコツを使えばその計算がかなり楽です。

全てのサブネットマスクは「1」の後に0以上の「0」が続く文字列です。つまり、例えばワイルドカードマスクなどに使われる補数は、常に2の累乗から1を引いたものになるということです。さらには、サブネットマスクの値が非常に限られていることという意味もしてます。IPアドレス全体ではなく、1オクテットのみを考慮すると、これらの値は以下の通りです。

• 255 (11111111)
• 254 (11111110)（基本的には使用しないが、可能ではある）
• 252 (11111100)
• 248 (11111000)
• 240 (11110000)
• 224 (11100000)
• 192 (11000000)
• 128 (10000000)
• 0     (00000000)

おまけ：１６進数

コンピュータサイエンスやITの分野で使われているもう一つの数字のシステムは、16進法です。これも10進法や2進法と同じ仕組みですが、0〜9の数字とA〜Fの文字の16種類の記号を使用します。

2進数から16進数に変換するには、右から4桁のブロックを取り、対応する16進数の値に変換すればよいだけです。桁数が4で割り切れない場合は、先頭の0で埋めればよいです。2進数の(10010000)₂ を (1001)₂ = 9 、 (0000)₂ = 0というブロックに分割できるので、2進数の(10010000)₂ は16進数で(90)₁₆ となります。

16進数から2進数に変換するには、16進数の各桁を４桁の2進数に変換すればいいだけです。

16進数の(A3)₁₆を(A)₁₆ = (1010)_2、(3)₁₆ = (0011)₂という４桁の2進数に分割できるので、16進数の(A3)₁₆は2進数の(10100011)₂となります。

それは、2進数の４桁で2⁴ = 16種類の数字を表すことができて、16進方では１桁で表せるからです。

終わりに

2進数は一見して怖そうに見えるかもしれませんが、実は日常的に使っている10進数と同じように使えます。この記事が、今まで2進数に否定的だった人が、少しでも理解を深める助けになれば幸いです。